过开口向右的抛物线的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ,B两点,设三角形AOB 的面积为S (O原点)(1)用θ P 表示S (2)求的最小值:若最小值为4时,求此时的抛物线方程
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解：设抛物线的方程是y^2=2px，焦点是F(p/2,0)，焦点弦AB的方程是y=k(x-p/2), k=tant （t是倾斜角）。消去x得到ky^2-2py-kp^2=0---y1+y2=2p/k,y1+y2=-p^2。1)△AOB被x轴分割成两个同底(OF)的三角形： △AOF 以及 △BOF。S(AOB)=S(AOF)+S(BOF)=|OF|*|y1|/2+|OF|*|y2|/2=|OF|'2*(|y1|+|y2|) 显然有向线段y1、y2在x轴的异侧所以二者异号，于是|y1|+|y2|=|y1-y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=√[(2p/k)^2+4p^2]=2p√(1/k^2+1)=2p√[1/(tant)^2+1]=2p√[(cott)^2+1]=2p√[1/(sint)^2] （0sint0)=2p/sint需要指出t=Pi/2时，虽然上面的方法不适用，此时焦点弦的方程是x=p/2,代入抛物线方程得到y^2=p^2---y=+'-p---|AB|=2p=2p/sin(Pi/2),完全符合最后的等式。2)S=2p/sinT=4---sinT=p=8所以此抛物线方程是 y^2=16x。。