直线y=ax+1和双曲线3x^2-y^2=1交于Ａ，Ｂ两点，a为何值时，以Ａ，Ｂ为直径的圆经过原点？
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直线y=ax+1和双曲线3x^2-y^2=1交于Ａ，Ｂ两点，a为何值时，以Ａ，Ｂ为直径的圆经过原点？ 解:设A(x1,y1) B(x2,y2) 圆心坐标(x,y)因为: Ａ,Ｂ为直径的圆经过原点(OA垂直OB)所以: x1*x2=-y1*y2y=ax+1。。。。。。。。。(1)3x^2-y^2=1。。。。。(2)(1)代入(2):(3-a^2)x^2-2ax-2=0x1+x2=2a/(3-a^2)=====x=a/(3-a^2)x1*x2=-2/(3-a^2)同理:(3-a^2)y-6y+(3-a^2)=0y1+y2=6/(3-a^2)======y=3/(3-a^2)y1*y2=1所以:-2/(3-a^2)=-1a^2=1 ===============a1=1 a2=-1所以:圆心1的坐标(1/2,3/2) 圆心2的坐标(-1/2),3/2)半径R^2=(1/2)^2+(3/2)^2=5/2所以:园的方程为:(2x-1)^2+(2y-3)^2=10 或 (2x+1)^2+(2y-3)^2=10。
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OA、OB垂直时，以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径的圆经过原点即：(y1/x1)*(y2/x2) = -1 === x1*x2 +y1*y2 = 0将y=ax+1代入3x^2-y^2=1：(a^2-3)x^2 +2ax+2 = 0x1*x2 +y1*y2 = x1*x2 +(a*x1+1)(a*x2+1) = (1 +a^2)x1*x2 +2a*(x1+x2)+1 = 0== (1 +a^2)*[2/(a^2 -3)] + a*[(-2a)/(a^2 -3)]x1 + 1 = 0== a = 1 or -1