已知L1、L2是过点P（-√2，0）的两条互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线Y^2-X^2=1各有两个交点,且分别为A1、B1和A2、B2.(1) 求L1的斜率K1的取值范围;(2) 若A1恰是双曲线的一个顶点,求|A2B2|的值.
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数学双曲线３提问者：798500228s (2005-11-23 22:20:44) 已知L1、L2是过点P（-√2，0）的两条互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线Y^2-X^2=1各有两个交点,且分别为A1、B1和A2、B2。(1) 求L1的斜率K1的取值范围;(2) 若A1恰是双曲线的一个顶点,求|A2B2|的值答：1。L1的斜率K1的取值范围为： K≤-1/√3,K≥1/√3。 2。A2B2=2√15过程如下。1。过点P（-√2，0）作两条互相垂直的直线：L1、L2，其方程为：L1：y-m(x+√2)=0;L2: my+(x+√2)=0;令L1、与双曲线Y^2-X^2=1相交，其方程为：T1：m^2(x+√2)^2-x^2=1 ==(m^2-1)x^2+2√2*m^2x+2m^2-1=0, L1与双曲线Y^2-X^2=1相交或相切时，△≥0：(2√2*m^2)^2-4(m^2-1)(2m^2-1)≥0 == 4m^2+2≥0 ==m^2≥-1/3, 因双曲线Y^2-X^2=1对x轴对称，且点P在x轴上，故m的两个根必互为反数(数字相同、符号相反)。即 m1≥1/√3,m2≤-1/√3。L1的斜率K1的取值范围为：K≤-1/√3,K≥1/√3。2。当A1是双曲线的一个顶点时，即A1的坐标为(0,1)或(0，-1)。因双曲线Y^2-X^2=1对x轴对称，且点P在x轴上，只需考虑A1(0,1)。L1的斜率K1为：m1=1/√2， 则L2相应的斜率为：m1=-√2 。L2方程为y=-√2(x+√2)，代入Y^2-X^2=1得x1=-√2+√5，x2=-√2-√5y1=-√2√5， y2=√2√5A2B2=√[(-√2+√5+√2+√5)^2+(-√2√5-√2√5)^2]=√(20+40)=2√15。A2B2=2√15。