设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[0，7]上只有f(1)=f(3)=0(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论
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解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数y=f(x)的对称轴为x=2和x=7,从而知函数y=f(x)不是奇函数,由方程f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)==f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)== f(4-x)= f(14-x)==f(x)=f(x+10),从而知函数y=f(x)的周期为T=10又f(3)=f(0)=0而f(7)≠0,故函数y=f(x)是非奇非偶函数;(2):由方程f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)==f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)== f(4-x)= f(14-x)==f(x)=f(x+10),(2): 又f(3)=f(0)=0,f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 在[0,2005]上有402个解,在[-2005。0]上有400个解,所以函数 在[-2005,2005]上有802个解。。
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同意楼上观点.