求正四面体相邻两侧面所成的二面角的大小及正四面体的高和棱长的比。
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设:正四面体底面三角形为ABC,重心为O,顶点为P,高为PO,AB的中点为D,棱长为2L,二面角为KPD=CD=√3L,cosK=(PD^2+CD^2-PC^2)/(2PD*CD)=(3+3-4)/6=1/3,K=arccos(1/3)PO^2=PC^2-CO^2=4-4/3=8/3高和棱长的比 PO/PC=(2√6/3)/2=√6/3
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求正四面体相邻两侧面所成的二面角的大小及正四面体的高和棱长的比。正四面体底面三角形为ABC,重心为O,顶点为D,高为h=DO,AB的中点为E,棱长为a,二面角为α。DE=a√(1-1/4)=a*√(3)/2,DE=CE=3EO, EO=a/(2√3), ∴cosα=EO/DE=1/3。二面角α=arccos(1/3).h^2=(DE)^2-(EO)^2=a^2(3/4-1/12)=a^2*2/3∴高和棱长的比:h/a=√(2/3)