请问师哥师姐：书上说：初等函数都是连续的，但为甚又有断点（如第一类断点）？这两者矛盾吗？
热心网友
初等函数在其有定义的区间内是连续的，对于有定义的孤立点（在这点的左、右邻域都没有定义），我们是不讨论其连续性的，不妨规定这些点也算连续点，所以一般说成初等函数在其定义域内是连续的。如果初等函数在某点没有定义，而在这点的左、右邻域都有定义，这样的点称为函数的间断点。初等函数的间断点只会发生在函数无定义处，当然并不是所有无定义的点都是间断点，还必须函数在该点的某个去心邻域内有定义。
热心网友
不矛盾。书上所述是初等函数在它的定义域上都是连续的。注意：定义域上。你所说的间断点本身就不再定义域范围之内，函数的定义域就是简短的，当然函数在这里有间断。所以初等函数只在他的每个定义域区间上才是完全连续的。这才是书上的意思。