过直线L： X+Y=2 与抛物线C相交于点A和点B，抛物线C的顶点在原点且以X轴为对称点，若PA、AB、PB的长度成等比数列，试求抛物线C的方程。
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过直线L： X+Y=2 与抛物线C相交于点A和点B，抛物线C的顶点在原点且以X轴为对称轴，点P的坐标为（-2，4）P在L上，若PA、AB、PB的长度成等比数列，试求抛物线C的方程。 因为Y = -X + 2 且过(-2,4)点所以设直线L为：Y = 4 + t*sin135 ,X = -2 + t*cos135 ,其中 t 为参数再设抛物线为Y^2 = 2pX ,(P0)把直线方程代入抛物线中：(4 + t*sin135 )^2 = 2p( -2 + t*cos135 )整理得：t^2 +2(4√2 + √2 P)t + 8p + 32 = 0所以 t1 + t2 = -2√2 (4+p) ,t1*t2 = 8(P+4)因为 PA*PB = |t1*t2 | ，AB = |t1 - t2 | ，由于AB^2 = PA*PB所以 (t1 - t2 )^2 = |t1*t2 | ,即 (t1 + t2 )^2 = 5 t1*t2 所以 8(4+P)^2 = 5*8(P+4)解得：P = 1 或 P=-4 (舍去)所以 抛物线C的方程为：Y^2 = 2X 。