证明：若整数Ｎ与１０互质，则Ｎ的１０１次方的末三位数必定与原三位数的末三位数字相同．
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证明：若整数Ｎ与１０互质，则Ｎ的１０１次方的末三位数必定与原三位数的末三位数字相同．要证N^101末三位数与N的末三位数字相同只要证明N^101-N=N(N^100-1)能被1000整除由已知，N不含2、5因子，即：N是形如10a±1或10a±3的整数N与1000互质，所以只要证明N^100-1能被1000整除由二项式定理：（1）当N=10a±1时，N^100-1＝(10a±1)^100-1≡C(100,2)*(10a)^*(±1)^98+C(100,1)*(10a)*(±1)^99+C(100,0)*(±1)^100-1＝100*99/2*100a^±100*10a+1-1＝5*99*1000a^±1000a≡0 (mod 1000)（2）当N=10a±3时，N^100-1＝(10a±3)^100-1≡C(100,2)*(10a)^*(±3)^98+C(100,1)*(10a)*(±3)^99+C(100,0)*(±3)^100-1＝100*99/2*100a^*3^98±100*10a*3^99+3^100-1＝5*99*3^98*1000a^±3^99*1000a+(3^4)^25-1≡(81)^25-1≡1^25-1＝0 (mod 1000)证毕。
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你出的题是奥林匹克的题，都是定理来的，谁那么有空给你证明啊．你不如问数学家吧