已知方程C：x^+y^+x-6y+m=0(1) 若方程C表示圆,求m的取值范围(2)若圆C和直线x+2y-3=0交于P、Q两点,求的取值范围及此时PQ的垂直平分线方程(3)若圆C和直线x+2y-3=0交于P、Q两点,且OP垂直OQ(O为原点)求|PQ|
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解: (1)圆(X-1/2)＾+(Y-3)＾=37/4-M ∵37/4-M＞ ∴M＜37/4(2):连立方程:(X-1/2)＾+(Y-3)＾=37/4-M 。。。。。。(1) X+2Y-3=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2)解得:Xp={-1-2√(34-5m)}/5。 Yp={8+√(34-5m}/5。 Xq={-1+2√(34-5m)}/5。 Yq={8-√(34-5m}/5。如有交点,则(34-5m)≥0 m≥34/5∵PQ的垂直平分线必过圆点O(1/2,3)。 其所在直线斜率K与直线X+2Y-3=0斜率K1=-1/2之积为-1。知K=2 ∴PQ的垂直平分线方程Y=2X+2(3):|PQ|=√{(Xp-Xq)＾+(Yp-Yq)＾={2√(170-25m)}/5∵OP垂直OQ ∴OP所在直线方程斜率K2与OQ所在直线方程斜率K2之积为-1{(3-Yp)/[(1/2)-Xp]}×{(3-Yq)/[(1/2)-Xq]}=-1m=91/20。将m=91/20。带入|PQ|={2√(170-25m)}/5=3。