已知f(x)是定义与在(0,+∞)上是减函数f(xy)=f(x)+f(y)f(1/3)=11.求f(1)2.若f(x)+f(2-x)<2求x的取值范围

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1.f(1) = 0因为由已知有f(x) = f(1) + f(x)2.因为f(x)定义域为x 0所以有x 0且2 - x 0所以由定义域有0 1/9解得x (3+√2)/3合并区间得到所求区间为0 < x < (3-√2)/3或(3+√2)/3 < x < 2

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f(xy)=f(x)+f(y)f(1/3)=f(1)+f（1/3） 得f(1)=0f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<2因为f(1/3)=1,所以f(1/3)+f(1/3)=2，即f(1/9)=2所以 f[x(2-x)]<2 1 f(1/9)=2 2因为 f(x)是定义与在(0,+∞)上是减函数 所以 f[x(2-x)]

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解:由x=1,y=1/3代入: f(1*1/3)=f(1)+f(1/3) f(1/3)=f(1)+f(1/3) f(1)=0 f(x)+f(2-x)=f[x*(2-x)]=f[-(x-1)^2 +1]=0 因为f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2 即f(1/9)=2 又因为f(x)为减函数,所以-(x-1)^2 +11/9 得出:(3-2根号2)/3

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f(x)=f(x)+f(1),所以f(1)=0而f(-1*-1)=f(1)=f(-1)+f(-1),则f(-1)=0f(-1*x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),原函数为偶函数f(x)+f(2-x)=f(x)+f(x-2)=f(x^2-2x)而2=f(1/3)+f(1/3)=f(1/9)所以f(x^2-2x)0时，原函数为减函数，则x^2-2x1/9,计算可得x<0,原函数为增函数（由奇偶性可得），则x^2-2x<1/9,最后取二者的并集即可。

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f(1*1/3)=f(1)+f(1/3)=1f(1)=0f(x)+f(2-x)=f(x*(2-x))=f(2x-x2)1/9x2-2x+1/9<0用求根公式计算可得解

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(1) 由f(xy)=f(x)+f(y)得f(1*1)=f(1)+f(1),于是 f(1)=0(2)在f(xy)=f(x)+f(y)中令x=e^u,y=e^v,得