证明：若整数Ｎ与１０互质，则Ｎ的１０１次方的末三位数必定与原三位数的末三位数字相同．
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1。记φ（n）为0，1，2，。。，n-1中和n互质的数的个数，φ（8）=4，φ（125）=100，2。记（a，b）为a，b的最大公约数。（Ｎ，10）=1==》（Ｎ，8）=（Ｎ，125）=1。3。记a≡b（m），a，b被m除的余数相等。欧拉定理：（a，m）=1==》a^[φ（m）]≡1（m）.==Ｎ^4≡1（8）==Ｎ^100≡1（8）,Ｎ^100≡1（125）==Ｎ^100≡1(1000)==Ｎ^101≡N(1000)==Ｎ^101=N+1000*k==则Ｎ的１０１次方的末三位数必定与原三位数的末三位数字相同．