设a∈R，求证a~(n＋2)＋(a＋1)~(2n＋1)(n∈R)能被a~2＋a＋1整除
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设a∈R，求证a~(n＋2)＋(a＋1)~(2n＋1)(n∈R)能被a~2＋a＋1整除证明：用数学归纳法：(1)当n=1时，a^3+(a+1)^3=(2a+1)(a^2+a+1)结论正确(2)假设当n=k时（k为大于等于2的整数）结论也正确即:a^(k+2)+(a+1)^(2k+1)=(a^2+a+1)*Ｍ (Ｍ为整数)(a+1)^(2k+1)=(a^2+a+1)*Ｍ-a^(k+2)当n=k+1时a^(k+3)+(a+1)^(2k+3)=a*a^(k+2)+[(a+1)^2]*(a+1)^(2k+1)=a*a^(k+2)+(a^2+2a+1)[(a^2+a+1)*Ｍ-a^(k+2)]=(a^2+a+1)*Ｍ*(a+1)^2-a^(k+2)(a-a^2-2a-1)=(a^2+a+1)*[Ｍ*(a+1)^2-a^(k+2)]故:a^(k+3)+(a+1)^(2k+3)能被(a^2+a+1)整除由(1)。(2)可知对n=1的一切自然数a~(n＋2)＋(a＋1)~(2n＋1)(n∈R)能被a~2＋a＋1整除证毕:。
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