1. 设a,b,c＞0，a/b+b/c+c/a=3,求证：a=b=c2. a,b,c为≠1的正数，若a^x=b^y=c^z,且1/x+1/y+1/z=0,求证：abc=13. 若a,c,d为整数，b为正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+c+d的最大值4. 若a+b+c=0，a^3+b^3+c^3=0,求a^2005+b^2005+c^2005=?
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(一) 设a,b,c＞0，a/b+b/c+c/a=3,求证：a=b=c证明：因为: a,b,c＞0所以: a/b0 和 b/c0 和 c/a0又因为: a/b+b/c+c/a=3{(a/b)(b/c)(c/b)}^(1/3)因为： 只有三个数相等，等式才成立所以: a/b=b/c=c/a即: a=b=c证毕:(二)a,b,c为≠1的正数，若a^x=b^y=c^z,且1/x+1/y+1/z=0,求证：abc=1证明:因为: a,b,c为≠1的正数 a^x=b^y=c^z 且1/x+1/y+1/z=0所以: bc=a^(x/(1/y+1/z)=a^(-1)=1/a即: abc=a/a=1证毕:(三)若a,c,d为整数，b为正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+c+d的最大值证明:因为: a+b=c (1) b+c=d (2) c+d=a (3)所以: (1)+(2)+(3) c=-2b a=-3b d=-b所以: a+b+c+d=-3b+b-2b-b=-5b又因为: b为正整数所以: 只有b=1(a+b+c+d)才有最大值即: (a+b+c+d)max=-5证毕:(四)若a+b+c=0，a^3+b^3+c^3=0,求a^2005+b^2005+c^2005=? 证明:因为: a+b+c=0 (1) a^3+b^3+c^3=0 (2)所以: (1)代入(2) -(b+c)^3+b^3+c^3=0 3abc=0即: a,b,c三个数中必有一个为零设: a=0 则 b+c=0 所以: b=-c 即: a^2005+b^2005+c^2005=b^2005-b^2005=0。