1、用解析法证明三角形重心到三顶点距离平方之和是三角形所在平面上一点到三顶点距离平方和的最小值。2、求y=(x^2+2x=2)^1/2+(x^2-4x+8)^1/2的最小值。
热心网友
1、用解析法证明三角形重心到三顶点距离平方之和是三角形所在平面上一点到三顶点距离平方和的最小值。设A(m,n) 、B（-p,0)、C(p,0) ,任一点为Q（x,y) ,重心为G(m/3 ,n/3)因为(QA)^2+(QB)^2+(QC)^2 =(x-m)^2+(y-n)^2 +(x+p)^2+(x-p)^2 + 2y^2＝3x^2 - 2mx +3y^2 -2ny +m^2+n^2+2p^2＝3(x- m/3)^2 + 3(y- n/3)^2 + (2/3)m^2 + (2/3)n^2 +2P^2≥(2/3)m^2 + (2/3)n^2 +2P^2所以(QA)^2+(AB)^2+(AC)^2 的最小值为：(2/3)m^2 + (2/3)n^2 +2P^2因为（GA)^2 +(GB)^2 +(GC)^2= (2/3)m^2 + (2/3)n^2 +2P^2所以原命题成立 2、求y=√(x^2+2x＋2)+√(x^2-4x+8)的最小值。 设A(-1,-1) ,B(2,2) ,P(x,0)则y= PA+PB ,即在X轴上求一点P使PA＋PB最小由于A、B在X轴的异侧，所以直线AB与X轴的交点即是P点，此时y=AB因为直线AB为：y = x所以AB与X轴的交点为：P(0,0)时，y=AB=3√2。
热心网友
1)设△ABC:A(0,0);B(a,0);C(b,c),则其重心是M((a+b)/3,c/3)S=MA^2+MB^2+MC^2=(x^2+y^2)+[(x-a)^2+y^2]+[(x-b)^2+(y-c)^2]=3x^2-2(a+b)x+3y^2-2cy+a^2+b^2+c^2=3[x^2-2x(a+b)/3+(a+b)^2/9]+3[y^2-2yc/3+c^2/9]+a^2+b^2+c^2-(a+b)^2/3-c^2/3=3[x-(a+b)/3]^2+3(y-c/3)^2+2(a^2+b^2+c^2-ab)/3显然，当仅当x=(a+b)/3,y=c/3时，此平方和S有最小值2/3*(a^2+b^2+c^2-ab)对照题设可以知道重心到三个顶点的距离的平方和最小。2）y=√(x^2+2x+2)+√(x^2-4x+8)=√[(x-1)^2+1]+√(x-2)^2+4=√[(x-1)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0+2)^2]从最后的函数式看，此函数可以看作是由横轴上的动点P(x,0)到二定点A(1,1)，B(2,-2)的距离之和的最小值。在“△”PAB中必定有|PA|+|PB|=|AB|,当仅当点P落在线段AB上时“=”成立。由于点A、B在x轴的两侧，这件事实必定发生。---y=|AB|=√[2-1)^2+（-2-1)^2]=√10附注：1，A、B的坐标的选择在计算前已做安排。2，点P的坐标可以由直线AB及x轴的方程计算得到。。