三角形ABC和三角形DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,角CBA=角DBC=120度,求:1,AD的连线和平面BCD所成的角2,AD的连线与直线BC所成的角3,二面角A-BD-C的大小(请写明具体步骤)
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解:过A作CB的延长线的垂线AE,并且连接DE。(因为角ABC是钝角,所以垂足E一定落在CB的延长线上)。1)因为平面ABC垂直于平面DBC,所以AE垂直于平面DBC。设钝角△的腰长AB=BC=m,则AC=√3m。同理DC=√3m。在直角△AEB中AB=m,∠ABE=180-120=60°,因此AE=m√3/2,BE=m/2。按照三垂线定理的逆定理,有DE垂直于EC,直角△AED中,AE=DE=m/2。(全等三角形AEC和DEC的对应边相等)。因此∠ADE=45°。就是说直线AD与其射影ED的角是45°,所以直线AD与平面BBC的角也是45°。2)因为BC垂直于平面AED(前已证BC同时垂直于AE,DE),所以AD垂直于BC。故AD与BC的角是直角。3)过E作BC的垂线EG,G是垂足。在直角△BED中,直角边BE=m/2;DE=m√3/2。所以斜边BD上的高EG=BE*DE/DC=m√3/4。根据三垂线定理得知BD⊥AG。所以∠AGE是二面角A-BD-E的平面角,因为tanAGE=AE/EG=(m√3/2)/(m√3/4)=2。所以A-BD-E的平面角是arctan2,它的补二面角A-BD-C=π-arctan2。
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解：如图：①作AH⊥BC交CB的延长于H，由面ABC⊥面BCD得AH⊥面BCD，故∠ADH为AD与平面BCD所成的角．由题设知△AHB≌△DHB，故DH⊥HB，AH=DH，∠ADH=45°为所求．②∵AH⊥面BCD，DC⊥DH，由三垂线定理得BC⊥AD，AD和BC所成角为90°．③作HR⊥BD于R，连结AR，由三垂线定理AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角．设BC＝α，则由题设得AH＝DH＝（√3/2）α，HB＝（1/2）α．在Rt△HDB中，得HR＝（√3/4）α，∴ tan∠ARH＝AH/HR＝2，故二面角A—BD—C为π-arctan2。
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如图，三角形ABC≌三角形DBC,∠1=∠2=30度1、作AM⊥BC，∵ABC⊥DBC,∴AM⊥DBCAD和平面BCD所成的角=∠ADMtg∠ADM=AM/DM=(AC/2)/(DC/2)=1------AD和平面BCD所成的角=∠ADM=45度2、AM⊥DBC---AM⊥DM,又AM⊥BC，∴BC⊥ADM---BC⊥AD---AD的连线与直线BC所成的角=90度3、在三角形DBC中作BF⊥BD交CD于F,在三角形DBA中作BE⊥BD交AD于E,则：二面角A-BD-C=∠EBF设AB=BC=BD=2，---AC=CD=2√3,AM=DM=√3,AD=√6cos∠ADB=(AD/2)/BD=BD/DE---DE=2BD^/AD=8/√6BE^=DE^-BD^=32/3-4=20/3,BE=2√5/√3同理---DF=4/√3,BF=2/√3cos∠ADC=(AD/2)/CD=√2/4EF^=DE^+DF^-2DE*DF*cos∠ADC=32/3+16/3-16/3=32/3∴cos∠EBF=(BE^+BF^-EF^)/2BE*BF=(20/3+4/3-32/3)/(8√5/3)=-√5/5。
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首先假设 AB=BC=BD=1，这样计算方便。1。如图做BC延长线，做AE垂直于BC。由三角形AEB和三角形AED全等，可证DE垂直BC，AE=DE。所以角ADE即为所求。因为三角形ABC和三角形DBC所在的平面互相垂直，所以AE垂直于DE，且AE=DE所以角ADE=45度2。因为上边证得BC垂直于AE和DE，所以BC垂直于AED所成平面，所以，AD垂直于BC3。从E做DB垂线交于F点，因为E是点A在平面CBD上的投影，所以可知AF垂直于DB。所以角AFE即为平面ADB和CDB的夹角。EB=cos60 * AB =0。5, FB=COS60 * EB =0。25所以，AF=AB^2-BF^2的开方=0。968AE=AB*sin60=0。866sinAFE=AE/AF=0。8944所以，角AFE=63。43度平面ADB和CDB的夹角为63。43度。