100-6 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90度，∠CBA的平分线交AC于D，过C作BD的垂线，垂足为E，CE和BA的延长线相交于F，若CE=5cm,则BD=____cm
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等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90度---- ∠ABC=∠ACB=45度BE平分∠CBF---- ∠EBC=45/2=22.5度BE⊥CF--- ∠FCB=90-22.5=67.5----∠FCA=67.5-45=22.5∠F=90-22.5=67.5∴三角形CDE∽三角形CFA∽三角形BCE设AB=AC=a----BC=BF=√2a,AF=(√2-1)a---AF:AC=(√2-1)由三角形CDE∽三角形CFA----DE:CE=AF:AC=(√2-1)---DE=5(√2-1)由三角形CDE∽三角形BCE----CE:CD=BE:CE=1/(√2-1)--BE=5(√2+1)∴BD=BE-DE=10
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BD为∠CBA的平分线=∠ABD=∠EBCRt△BEC中,BC=CE/sin∠EDC=5/sin∠EBC 即sin∠EBC=5/BC ①Rt△ABD中，BD=AB/cos∠ABD=AB/cos∠EBC 即cos∠EBC=AB/BD ②等腰Rt△ABC, 则BC=√2AB ③ tg∠EBC=sin∠EBC/cos∠EBC ①*② 再结合③ 可得 sin∠EBCcos∠EBC=5√2/2BD 根据 sin2a=2sinacosa 可得 sin45=2sin∠EBCcos∠EBC ∴ BD=10