已知函数f在［0,1］有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=f'(0)=0,f'(1)=1。求证:从0到1的∫[f''(x)]^2dx≥4.并且证明4是最佳值.因为没WORD,打不出0到1的积分公式,就只好酱紫咯.大家帮帮忙咯,偶大一新生搞不清楚那些莫名其妙的作业题目.
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题目是对的,但确实有点难度,值得考虑.估计要用插值来做.想了一会儿用伯恩施坦多项式插值构造函数p(x)=x^3-x^2.那么它刚好满足条件p(0)=p(1)=p'(0)=0,p'(1)=1.而且∫[p''(x)]^2dx=4。那么就只需要证明∫[f''(x)]^2dx≥∫[p''(x)]^2dx就可以了。而所要证明的不等式显然成立.因为用∫[f''(x)-p''(x)]^2dx≥0而∫[f''(x)-p''(x)]^2dx＝∫[f''(x)]^2dx-4≥0就证明出了答案对f''(x)＝p''(x)积分，且满足题条件得出f(x)＝p(x)为取等条件
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晕! 题条件有问题! f'(1)=2就对了利用柯西不等式:(∫[f(x)]^2dx)(∫[g(x)]^2dx)≥(∫f(x)g(x)dx)^2很容易得出 :∫[f''(x)]^2dx∫dx≥(∫f''(x)dx)^2=(f'(1)-f'(0))^2=1
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证出几个例子就可以了,通常是这样
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题目有点问题，应该大于等于1啊，用Schwarz不等式可很容易求得。