求y=1/x,y=x+3/2,y=x-3/2,y=-x所围成的图形绕直线y=-x旋转的旋转体体积？
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数学题提问者：我要读研 (2005-11-27 16:18:23) 求y=1/x,y=x+3/2,y=x-3/2,y=-x所围成的图形绕直线y=-x旋转的旋转体体积？ 答：旋转体体积V=57π/8√2。1。将坐标轴逆时针旋转45度，即以x=Xsin45+Ycos45 和y=Xcos45-Ysin45代入上列所有方程，可得：y=1/x== Xcos45-Ysin45=1/( Xsin45+Ycos45) ==X^2/2-Y^2/2=1, ==X^2= Y^2+2……(1)y=x+3/2== -Y√2=3/2 ==Y=-3/2√2……(2)y=x-3/2== -Y√2=-3/2 == Y=3/2√2……(3)y=-x== Xcos45-Ysin45+ Xsin45+Ycos45=0 ==X=0………(4)2。为方便书写，以下仍以x代X，以y代Y。由(1) (2) (3) (4)围成的面积，绕x=0旋转时，层高为dy的薄盘的半径r=x=√(Y^2+2),其体积为dv=πr^2dy, 则旋转体体积V=∫πr^2dy=∫π(y^2+2)dy,(积分下、上限为∣-3/2√2--3/2√2∣。)V=2π(y^3/3+2y) (积分下、上限为∣0--3/2√2∣)V=2π(9/(16√2)+3/√2)= 57π/8√2。。