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相交弦定理、切割线定理、割线定理等统称为圆幂定理。它的基本内容是，在平面上经过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，有向线段PA、PB的乘积PA·PB是一个定值。当这个点P在⊙O外时，这个定值为正，当点P在⊙O内时，这个定值为负，当点在⊙O上时，定值为0。
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课题：圆幂定理及其应用教学目标1、使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；2、通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法；3、从运动的观点来统一认识圆幂定理，对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育。教学重点与难点相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点灵活运用圆幂定理解题是难点。教学方法：启发式、讨论式、练习式媒体选择：多媒体电脑或投影仪、贴图教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题(大约10~15分钟)1、根据下图(1)、(2)、(3)(三个图合为贴图1)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容。2、然后提出问题：相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系？〖教学思路：提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来认识定理。〗(1)如图(4)，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA•PB=PC•PD。这便是我们学过的相交弦定理，对于这个定理有两个特例：一是如图(5)圆内两条弦交于圆心O，则有PA=PB=PC=PD=圆的半径R，虽然，相交弦定理当然成立。二是如图(6)当点P逐渐离开圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，此时PB=PD=0，仍然有PA•PB=PC•PD=0，相交弦定理仍然成立。(电脑演示三个图形的变化)(2)点P继续运动到圆外如图(7)，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA•PB=PC•PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理)。(3)在图(7)中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠近，以至于合为一点C，割线PDC变成切线PC。这时有PA•PB=PC•PD=PC2，这就是我们学过的切割线定理。如图(8)(4)在图(8)中，如果再将割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会变成一条切线PA，这时应有PA2=PC2，可得PA=PC，这就是我们学过的切线长定理。如图(9)(电脑演示三个图形的变化过程)至此,通过点、线的运动变化,我们发现,相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系。3、〖教学思路：通过以下证明(课本P。134B组4题)启发学生理解定理的实质，从而掌握定理间内在联系的理论根据。同时也可培养学生勇于探索新知识及分析、总结问题的习惯，激发学生的学习兴趣，树立学生科学的学习态度。〗经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图(10)(11)(12)通过观察可以得出(设⊙O的半径为R)(三个图合为贴图2)在图(10)中，PA•PB=PC•PD=PE•PF=(R-OP)(R+OP)=R2-OP2；在图(11)中，PA•PB=PT2=OP2-OT2=OP2-R2；在图(12)中，PA•PB=PC•PD=PT2=OP2-R2。教师指出，由于PA•PB均等于│OP2-R2│，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理。二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)(大约15分钟)例1 如图(13)(贴图3)，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。【分析】：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB。求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理可求出AC，于是问题得解。(由学生讨论、分析，得出解决)例2、如图(14)在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ,求证：AX•AY=BP•BQ(课本P。134B组5题)【分析】在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的。但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法。方法1 在图(15)(贴图4)中，过为A，B分别作小圆的切线AC，BD，切点为C，D，这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2=AX•AY，BD2=BP•BQ。再连结CO，AO，DO，BO，易证Rt△AOC≌Rt△BOD，得出AC=BD，所以AX•AY=BP•BQ方法2 在图(16)(贴图5)中作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D，这样就出现了相交弦定理的基本图形，于是有AX•XC=EX•XF，BP•PD=FP•PE，易证AX=CY，BP=DQ，EX=FP，所以AX•XC=AX•AY，BP•PD=BP•BQ，EX•XF=FP•PE，所以AX•AY=BP•BQ。方法3 如图(17)(贴图6)，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形，于是有AX•AY=AE•AF，BP•BQ=BC•BD，易证AE=BC，AF=BD，所以AE•AF=BC•BD，从而AX•AY=BP•BQ〖教学思路：通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系。同时也向学生渗透了数学中的“化归”思想，以及数学中的“化未知为已知”的数学方法。〗三、强化练习(可分组或让两位学生到黑板上完成)(大约10分钟)练习1 已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB=BC，如果OA=7，PA=2，求PC的长。练习2 如图(18)，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N，求证：PN2=NM•NQ。(要注意引导学生发现基本图形) (此两题可用投影打出或看课本P。130练习)四、小结(5分钟)用投影打出圆幂定理的基本图形(图19)，让学生观察并说出相应的定理。PC2=PA•PB PA•PB=PC•PD PA•PB=PC•PD PT2=PC•PD PS2=PA•PB PT=PS(PT2=PS2) 教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的。五、布置作业课本P。133习题7。4A组13、14题思考题：课本P。130。想一想，P。134 B组6题六、板书设计七、教后记课本没有给出“圆幂定理”这一名称，而是以“和圆有关的比例线段”的形式出现的，教学时可根据学生的程度而定。圆幂定理十分重要，它是进行几何论证、计算和作图的常用定理，但是应用难度较大，所以在教学时，既要让学生认清定理间的内在联系和本质特征，也应时刻注意启发学生进行思考，培养学生的发散思维能力。例题和练习题可根据学生实际选用。。
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弦切角算伐？