判断并证明函数f(x)=(ax)/(x2-1)(a≠0)在(-1,1)上的单调性
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证明:f(x)=(ax)/(x^-1)西门吹雪解答基本正确，最后一步未讨论a的符号，结果所得结论不对。取-1＜x1＜x2＜1，f(x1)-f(x2)=(ax1)/(x1^-1)-(ax2)/(x2^-1)=[ax1(x2^-1)-ax2(x1^-1)]/[(x1^-1)(x2^-1)]=a[x1x2(x2-x1)+(x2-x1)]/[(x1^-1)(x2^-1)]=a(x2-x1)(1+x1x2)/[(x1^-1)(x2^-1)]∵-1＜x1＜x2＜1，------ x2-x1＞0∴(x1-1)(x2-1)＞0------(x1^-1)(x2^-1)＞0x1x2＞-1---------------1+x1x2＞0∴f(x1)-f(x2)=a(x2-x1)(1+x1x2)/[(x1^-1)(x2^-1)]＞0∴函数f(x)=(ax)/(x^-1)(a≠0)在(-1,1)上是单调减函数 应改为：当a＞0时，f(x1)-f(x2)＞0，函数是单调减函数 ； 当a＜0时，f(x1)-f(x2)＜0，函数是单调增函数 。。
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不明白?????
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判断并证明函数f(x)=(ax)/(x^2-1)(a≠0)在(-1,1)上的单调性。解:在开区间(-1,1)上，分母(x^2-1) ＜ 0，当x = 0时，f(x) = 0。1)、当a ＞ 0时①、在区间(-1，0]上，x与(x^2 - 1)同号，且小于零。随着|x|的减小，x/(x^2 - 1)也减小，也就是说，在区间(-1，0]上是单调减函数。②、在区间[0，1)上，x ＞ 0，(x^2 - 1) ＜ 0，随着x的增加，x/(x^2 - 1)减小，也就是说，在区间[0，1）上是单调减函数。所以在区间(-1,1)上，当a ＞ 0时，f(x)是单调减函数。2)、当a ＜ 0时①在区间(-1，0]上，x与(x^2 - 1)同号，且小于零。随着|x|的减小，x/(x^2 - 1)增加，也就是说，在区间(-1，0]上是单调增函数。②在区间[0，1)上，x ＞ 0，(x^2 - 1) ＜ 0，随着x的增加，x/(x^2 - 1)也增加，也就是说，在区间[0，1）上是单调增函数。所以在区间(-1,1)上，当a ＜ 0时，f(x)是单调增函数。由此得到结论，在区间(-1,1)上，当a ＞ 0时，f(x)是单调减函数；当a ＜ 0时，f(x)是单调增函数。
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证明:f(x)=(ax)/(x^-1)取-1＜x1＜x2＜1f(x1)-f(x2)=(ax1)/(x1^-1)-(ax2)/(x2^-1)=[ax1(x2^-1)-ax2(x1^-1)]/[(x1^-1)(x2^-1)]=a[x1x2(x2-x1)+(x2-x1)]/[(x1^-1)(x2^-1)]=a(x2-x1)(1+x1x2)/[(x1^-1)(x2^-1)]∵-1＜x1＜x2＜1--------x2-x1＞0∴(x1-1)(x2-1)＞0------(x1^-1)(x2^-1)＞0x1x2＞-1---------------1+x1x2＞0∴f(x1)-f(x2)=a(x2-x1)(1+x1x2)/[(x1^-1)(x2^-1)]＞0∴函数f(x)=(ax)/(x^-1)(a≠0)在(-1,1)上是单调减函数
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求导函数就可以解决了 (前提是你是高三学生或已经自学了这部分)呵呵 :)
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就用定义法证明