我作业中也有下面这个题目(见 到底谁错了？ 望详细说明。谢谢。
热心网友
应如下：设Cr={|z|=r，α≤argz≤β}由一致收敛得，对于所有ε0,存在R0,当|z|R，α≤argz≤β，时|zf（z）-K|≤ε，==》|∫{Cr}f（z）dz-iK（β-α）|=|∫{α≤θ≤β}[re^(iθ)f（re^(iθ))-K]idθ|≤≤∫{α≤θ≤β}|[re^(iθ)f（re^(iθ))-K]i|dθ≤ε(β-α)==Lim{r→∞}∫{Cr}f（z）dz=iK（β-α）。 因为复数里边没有中值定理（一定注意），显然中值定理和留数定理矛盾，但留数定理不可能错。当时你选错了。补：定义在[a，b]的复值连续函数f（t），可以写成f（t）=g（t）+ih（t），其中g（t），h（t）为定义在[a，b]的实值连续函数（即高数中的连续函数）∫{a≤t≤b}f（t)dt=∫{a≤t≤b}g（t)dt+i∫{a≤t≤b}h（t)dt对g（t），h（t）使用中值定理，有a≤c，d≤b，∫{a≤t≤b}g（t)dt=（b-a）g（c），∫{a≤t≤b}h（t)dt=（b-a）h（d），一般c和d不相等，∫{a≤t≤b}f（t)dt=（b-a）[g（c）+ih（d）]，但没有a≤e≤b，使∫{a≤t≤b}f（t)dt=（b-a）[g（e）+ih（e）]==（b-a）[f（e）]成立。如：[a，b]=[0，1]，g（t）=t，h（t）=t^2,f（t）=t+it^2==c=1/2,d=1/3,∫{0≤t≤1}f（t)dt=1/2+i/3,但没有0≤e≤1，使∫{0≤t≤1}f（t)dt=[e+ie^2]成立，即[1/2]^2≠1/3。再补：上面的例子已否定复数里边中值定理。而你证明中使用中值定理就肯定错了。其实和本题有关的例子太多了，取f（z）=1/z^2，α=0，β=2π，==》K=0显然∫{Cr}f（z）dz=0，而按你的中值定理得∫{Cr}f（z）dz=∫{0≤θ≤2π}[re^(iθ)f（re^(iθ))idθ==2πie^(-iθ1)/r，0≤θ1≤2π按你的证明得2πe^(-iθ1)i/r=0，可能吗？两次中值定理：∫{Cr}f（z）dz=∫{α≤θ≤β}[re^(iθ)f（re^(iθ))idθ=∫{α≤θ≤β}Re[re^(iθ)f（re^(iθ))i]dθ++i∫{α≤θ≤β}Im[re^(iθ)f（re^(iθ))i]dθ=={Re[re^(iθ1)f（re^(iθ1))i]+iIm[re^(iθ2)f（re^(iθ2))i]}（β-α）→→iK（β-α）。 。
热心网友
我仔细考虑过了，用积分中值定理是不妥的，特此声明，顺致歉意。