用罗尔or拉格朗日or柯西中值定理证明：x^5+x-1=0只有一个正根
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本题不必直接使用中值定理，而使用由中值定理得到的关于单调性的结论，证明起来更方便。证明：令f(x)=x^5+x-1，则f(x)连续，且f(0)=-10∴存在ξ∈(0,1)，使f(ξ)=0，即原方程至少有一个正根；∵f'(x)=5x^4+10，∴f(x)单调增加，∴原方程至多有一个实根；综上所述，原方程只有唯一一个实根在区间(0,1)之内。
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f(x)=x^5+x-1,f(0)=-1有一个0,若f有2个根x1，x2则有x10矛盾。所以x^5+x-1=0只有一个<1的正根。