证明：3阶实矩阵E能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积，E =R T ，的充要条件是E有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。
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证明：3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积，A =R T ，的充要条件是A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。 (注意：E为单位矩阵）记A^(t)为A的转置矩阵。1。设3阶实矩阵A能分解为反对称矩阵T与一个正交矩阵R的积，A =R T ==》A^(t)A=T^(t)R ^(t)R T=T^(t)T=- T^2。T为3阶反对称矩阵==》T的特征多项式P（x）=x^3+ax，a0==T^3+aT=0==(- T^2)^2-a(- T^2)=0==(b1）^(t)b1=- T^2的最小多项式=x^2-ax==》A^(t)A的特征值=0，a，而显然R（- T^2）=2==》A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等=√a。2。3阶实矩阵A有一个零奇异值并且另外两个非零奇异值相等。则有正交矩阵P，使P^(t)A^(t)AP=Λ，其中Λ=[a，0，0] [0，a，0]，其中a0 [0，0，0]设B=P^(t)AP==》B^(t)B=Λ==》B=（b1，b2，0），其中（b1）^(t)b1=（b2）^(t)b2=a，（b1）^(t)b2=0。c1=b1/√a，c2=b2/√a，（b1）^(t)c3=（b2）^(t)c3=0，（c3）^(t)c3=1==》则Q1=（c1，c2，c3）为正交矩阵Q1^(t)P^(t)AP=Q1^(t)B=[√a，0，0][0，√a，0][0， 0，0]设Q2=[0， 1，0] [-1，0，0] [0， 0，1]==》Q1=为正交矩阵==》Q1^(t)P^(t)APQ2=Δ=[0，-√a，0][√a， 0，0][0， 0，0]==》A=PQ1Δ[Q2]^(t)P^(t)==PQ1[Q2]^(t)P^(t){PQ2Δ[Q2]^(t)P^(t)}，T=PQ2Δ[Q2]^(t)P^(t)，R =PQ1[Q2]^(t)P^(t)，显然T为反对称矩阵，R为正交矩阵，A=R T 。。
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好难！