在三角形ABC中，证明边a，b，c成等差数列的充要条件为cosA+2cosB+cosC=2
热心网友
若：cosA+2cosB+cosC=2 则：2abc(cosA+2cosB+cosC) = 4abc== a*(b^2+c^2-a^2)+2b*(c^2+a^2-b^2)+c*(a^2+b^2-c^2) = 4abc展开，得：(a+c-2b)(a+b-c)(a-b-c) = 0== a+c-2b = 0因此，边a、b、c成等差数列。若边a、b、c成等差数列：a+c = 2b== (a+c-2b) = 0 == (a+c-2b)(a+b-c)(a-b-c) = 0展开，整理，得：a*(b^2+c^2-a^2)+2b*(c^2+a^2-b^2)+c*(a^2+b^2-c^2) = 4abc== a*(2bc*cosA +2*2ca*cosB +2ab*cosC) = 4abc== 2abc(cosA+2cosB+cosC) = 4abc== cosA+2cosB+cosC=2因此，条件必要。证毕。