设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC平行于x轴。求证：直线AC经过原点。
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设过点F的直线的方程为：y = k(x -p/2)交抛物线于A(x1,y1),b(x2,y2)代入y^2=2px，得：4*k^2*x^2 -4*(p*k^2 +2p)x +k^2*p^2 = 0x1*x2 = (k^2*p^2)/4 ...(1)直线OA斜率 = y1/x1 = k(x1 -p/2)/x1 = k -kp/(2*x1)直线OB斜率 = y2/(-p/2) = k(x2 -p/2)/(-p/2) = k -2kx2/p由(1)，得：直线OA斜率 = k -kp/(2*x1) = k -2kx2/p = 直线OB斜率因此，直线AC经过原点。
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证明：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F (p/2，0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+p/2代入抛物线方程得y^2-2pmy-p^2=0若记A(x1，y1)，B (x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p^2因为BC∥x轴，且点c在准线x = -(p/2)上，所以点C的坐标为（-(p/2)，y2），故直线CO的斜率为k=y2/-(p/2)=2p/y1=y1/y2，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．