已知f（x）=x^2-x+c定义在区间[0,1]上,x1,x2∈[0,1],且x1≠x2.求证:(1)f(0)=f(1);(2)|f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|(3)|f(x1)-f(x2)|<1/2(4)|f(x1)-f(x2)|≤1/4前两问我会,只要证后两问即可!!!!!谢谢啦~~~~~
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(1) f(0)=c,f(1)=c 所以f(0)=f(1)(2) |f(x2)-f(x1)|-|x1-x2|=|x1-x2|(|x2+x1-1|-1)因为|x1-x2|0,又x2+x1<2则|x2+x1-1|<1，那么(|x2+x1-1|-1)<0所以|f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|(3)和(4)初看之后，似乎没有着手点，但是利用该函数的特性和定义域区间，可以这样来解：f(x)=(x-1/2)^2+c-1/4,在[0,1/2]上为减函数，在(1/2,1]上为增函数,分区间讨论：a。设x1,x2∈[0,1/2],且x1≠x2 f(x1)-f(x2)=(x1-1/2)^2-(x2-1/2)^2x1-1/2∈[-1/2,0],(x1-1/2)^2∈[0,1/4],x2-1/2∈[-1/2,0],(x2-1/2)^2∈[0,1/4],所以f(x1)-f(x2)∈[-1/4,1/4],则|f(x1)-f(x2)|≤1/4；b。设x1,x2∈(1/2,1],且x1≠x2 f(x1)-f(x2)=(x1-1/2)^2-(x2-1/2)^2x1-1/2∈(0,1/2],(x1-1/2)^2∈(0,1/4],x2-1/2∈(0,1/2],(x2-1/2)^2∈(0,1/4],所以f(x1)-f(x2)∈(-1/4,1/4),则|f(x1)-f(x2)|<1/4；c。设x1∈[0,1/2],x2∈(1/2,1]f(x1)-f(x2)=(x1-1/2)^2-(x2-1/2)^2x1-1/2∈[-1/2,0],(x1-1/2)^2∈[0,1/4],x2-1/2∈(0,1/2],(x2-1/2)^2∈(0,1/4],所以f(x1)-f(x2)∈[-1/4,1/4),则|f(x1)-f(x2)|≤1/4；由上可知，|f(x1)-f(x2)|≤1/4；则同时也证明了|f(x1)-f(x2)|<1/2。