已知函数f(x)=x^2+2x+1,若存在实数t,当1≤x≤m时，f（x+t)≤x恒成立，求实数m的最大值？
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当1≤x≤m时，f（x+t)≤x恒成立，由x=1时，成立得到（t+2)^2≤1,得t的取值范围是[-3，-1]。对f（x+t)-x≤0 （设其为F（x））进行整理得： x＾2+(2t+1)x+(t+1)^2≤0则m为x＾2+(2t+1)x+(t+1)^2=0较大根 （由F（1）≤0,F（m）=0 由其图像特点可以保证其在[1，m]符合F（m）≤0)利用求根公式得 2m=-2t-1+(-4t-3)^1/2 （后面是1/2次方，写的不清楚，自己用公式得出）注意到M对于T为单调减函数，所以当t=-3时，m取得最大值，m=5这个思路应该能解得出来（也许计算结果不能保证）随便说一下楼上的做法我认为其另一个不必等于1，应该是小于等于1。注意到函数图像是没有确定的，其2根的之间的间隔不定，所以不一定是较小根等于1时，较大根最大。（当然也有可能恰好是，即使是楼上的做法也不妥）。
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m最大值是4采用图像法做这个题比较简单y=x的图像是一条直线，y=x^2+2x+1是一条抛物线，y=f（x+t)是y=x^2+2x+1的平移要使1≤x≤m时，f（x+t)≤x恒成立，y=x^2+2x+1图像应该向右平移，直到y=f（x+t)过（1，1），且对称轴在x=1右侧，此时函数易解出是y=x^2-4x+4，这个时候m取最大值，再向右平移就不再符合条件，由x^2-4x+4=x解得x=4，即m的最大值是4
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解:∵已知函数f(x)=x^2+2x+1,若存在实数t,当1≤x≤m时，f（x+t)≤x恒成立f（x+t)=(x+t)＾2+2(x+t)+1≤x. 整理得: x＾2+(2t+1)x+(t+1)≤0∴函数x＾2+(2t+1)x+(t+1)与X轴有两个交点.既方程x＾2+(2t+1)x+(t+1)=0有两个解X1=1 X2=m根据韦达定理 1+m=-2t-1....(1) m=(t+1).＾2...(2)解(1)(2)得m1=0 m2=4∴m最大值是4