△ABC所在平面外一点V,VA=a,VB=b,VC=c,∠AVB=α,∠BVC=β,∠CVA=γ,若a＾2+b＾2+c＾2=ab+bc+ca,且1+cosγ=cosα+cosβ,求证：平面VAC⊥平面ABC.
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由条件：a＾2+b＾2+c＾2=ab+bc+ca，可以得到(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0,即a=b=c,在三个等腰三角形VAB,VAC,VBC中应用余玄定理，可以得到cosα、cosβ、cosγ的表达式，代入条件1+cosγ=cosα+cosβ中得到以下结果：AB^2+BC^2=CA^2.......(1)因为VA=VB=VC=a，所以A、B、C三点在以V为中心半径等于a的球体上，而A、B、C三点可以确定一个平面，该平面与球的截面是一个圆，设该圆的圆心为O'，则VO'垂直该圆截面。再由（1）的结果，可知CA就是该圆截面的直径，那么CA的中点就是圆心，也就是O'为CA的中点。由于O'是球心V在圆截面的投影，所以VO'垂直平面。那么过VO'的平面VAC也就垂直于平面ABC。