若函数y=f(x) 在区间（-a,a)(a>0)内为偶函数且可导，试讨论y=f'(x) 在（-a,a)内的奇偶性。若函数y=f(x) 在区间（-a,a)(a>0)内为偶函数且可导，试讨论y=f'(x) 在（-a,a)内的奇偶性。
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若函数y=f(x) 在区间（-a,a)(a0)内为偶函数且可导，试讨论y=f'(x) 在（-a,a)内的奇偶性。 解：因为函数y=f(x) 在区间（-a,a)(a0)内为偶函数且可导所以 f(-x) = f(x)两边对x求导，得 [f(-x)]’ = [f(x)]’即 f ’(-x)*(-1) = f ’(x)亦即 f '(-x) = - f '(x)所以 f '(x) 是奇函数。
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偶函数的导函数是奇函数，奇函数的导函数是偶函数。——这是定理。现在证明前半句话。证：设f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)f'(-x)=lim(h→0)[f(-x+h)-f(-x)]/h=lim(h→0)[f(x-h)-f(x)]/h=-lim(h→0)[f(x-h)-f(x)]/(-h)=-f'(x)∴f'(x)是奇函数。