已知单位圆和直线y=2x m相交于A、B两点,且OA、OB与x轴正方向所成的角为α和β(O为原点)

已知单位圆和直线y=2x+m相交于A、B两点,且OA、OB与x轴正方向所成的角为α和β(O为原点) 求证:sin(α+β)为定值

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如图：过O作OC⊥AB于C点，则OC平分∠AOB因为∠AOD=α ，∠BOD=β ，所以∠COD=(α+β)/2又因OC⊥AB ，AB的斜率为：k1=2 ,所以OC的斜率为：k2=-1/2所以 tan(α+β)/2 =-1/2由万能公式得：sin(α+β)= 2*(-1/2)/[1+(-1/2)^2] =-4/5

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解y=2x+m x^2+y^2=1得x1=[-2m-(6-2m)^0.5]/6 x2=[-2m+(6-2m)^0.5]/6 y1=[m-(6-2m)^0.5]/3 y2==[m+(6-2m)^0.5]/3 A{[-2m-(6-2m)^0.5]/6,[m-(6-2m)^0.5]/3 } B{[-2m+(6-2m)^0.5]/6,[m+(6-2m)^0.5]/3 }sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ =[m+(6-2m)^0.5]/3*[-2m-(6-2m)^0.5]/6+[-2m+(6-2m)^0.5]/6*[m-(6-2m)^0.5]/3 =(-4m^2+4m-12)/18