任意三角形三边中点，三条高的垂足，高的交点到三个顶点的中点，请证明这九点共圆。
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九点圆任一三角形中，三边的中点，从各顶点向其对边所作垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点(也叫欧拉点)，这九个点在同一圆周上，该圆即称此三角形的九点圆，或欧拉圆。九点圆是几何史上的一个名题，最早提出九点圆的是英国的俾凡，他在1804年英国的一本杂志上提出问题。1821年英国的邦色南第一个给出它的完全证明。著名哲学家费尔巴哈的次兄也曾研究过九点圆，并发现其重要性质，故也有人称九点圆为“费尔巴哈圆”。如图，在△ABC中，H是垂心，L, M, N是三边的中点，D, E, F是三边上高的垂足，P, Q, R是HA，HB，HC的中点，则L，M，N，D，E，F，P，Q，R九点共圆。连LR，LM，LE，PR，PM，PE∵ L，R为BC，HC中点，P为HA中点，∴LR//BE，PR//AC， 又 BE⊥AC，∴ ∠LRP=90o，R是在以LP为直径的圆上。同理，∠LMP=90o ，又∠ADL=90o ，∴ M，D也在以LP为直径的圆上。∵ PE，LE均为直角三角形斜边上的中线，∴∠LEP=∠HEP +∠HEL =∠AHE +∠EBL= 90o ，∴E在以LP为直径的圆上。同理可证，N，Q，F在以LP为直径的圆上。∴ L，M，N，D，E，F，P，Q，R九点共圆。 九点圆有不少有趣的性质：九点圆的半径等于三角形外接圆半径的一半。九点圆的圆心为三角形的垂心与外接圆圆心连线的中点。三角形的九点圆与三角形的内切圆、旁切圆都相切。(本文转载自 。