直线L交双曲线于A,D两点,交双曲线的渐近线于B,C两点,求证:|AB|=|CD|.
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直线L交双曲线于A,D两点,交双曲线的渐近线于B,C两点,求证:|AB|=|CD|。 分析：设AD的中点为M ，BC的中点为N 若M、N两点重合，则|AB|=|CD| 下面证明M、N的横、纵坐标分别相等 由于M、N在同一条直线上，所以横坐标相同时，纵坐标也一定相同 所以只需证明M、N的横坐标相等即可。设直线L为：y=kx+s ,双曲线为 (x/a)^2 -(y/b)^2 =1 渐近线为：(x/a)^2 -(y/b)^2 =0把y=kx+s代入 (x/a)^2 -(y/b)^2 =1中得： (b^2-k^2*a^2)*x^2 -2ka^2*x -a^2*s^2-a^2*b^2=0 所以x1 + x2 = 2ka^2/(b^2-k^2*a^2)把y=kx+s代入 (x/a)^2 -(y/b)^2 =0中得： (b^2-k^2*a^2)*x^2 -2ka^2*x -a^2*s^2 = 0 所以(x1)′ + (x2)′ = 2ka^2/(b^2-k^2*a^2)所以x1 + x2 = (x1)′ + (x2)′ ,即得M、N的横坐标相等 故原命题得证。