数列{an}中,a1=2,an=[2a(n-1)] / [a(n-1)+1] (n>=2) ,求通项公式?
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数列{an}中,a1=2,an=[2a(n-1)] / [a(n-1)+1] (n=2) ,求通项公式? an=[2a(n-1)] / [a(n-1)+1]an*a(n-1)+an=2a(n-1)an*a(n-1)-an-a(n-1)+1=a(n-1)-2an+1[an-1][a(n-1)-1]=[a(n-1)-1]-2(an-1)1=1/[an-1]-2/[a(n-1)-1]0={1/[an-1]+1}-2{1/[a(n-1)-1]+1}1/[an-1]+1=2{1/[a(n-1)-1]+1}∴bn=1/[an-1]+1是一个以b1=1/1+1=2为首项、2为公差的等比数列bn=1/[an-1]+1=2^n1/[an-1]=2^n-1∴an=1+1/(2^n-1)
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在邻项的关系式an=2a(n-1)/[a(n-1)+1]中,一依次令n=2; 3; 4;。。。。。。得到:a1=2; a2=2*2/(2+1)=4/3; a3=2(4/3)/(4/3+1)=8/7; a5=2(8/7)/(8/7+1)=16/15;观察这有限项能够揣测得到通项公式是 an=2^n/(2^n-1)。 现在用数学归纳法予以证明,证:1)n=1时,a1=2/(2^1-1)=2符号已知条件。2)假设n=k(k=1)时公式成立。就是ak=2^k/(2^k-1),则a(k+1)=2ak/(ak+1)=2[2^k/(2^k-1)]/[2^k/(2^k-1)+1]=2*2^k/[2^k+(2^k-1)]=2*2^k/(2*2^k-1)=2^(k+1)/[2^k+1)-1]就是说命题"n=k时通项公式成立,则n=k+1时通项公式就成立"成立。根据1);2)可以知道对一切自然数n,通项公式an=2^n/(2^n-1)(n=1)都成立。