设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N（0，4），令U=X+Y，V=X-Y。（1）求U与V的联合分布概率密度；（2）判断U与V是否独立，为什么？请老师给出答案，谢谢！
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1。随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N（0，4），则（X，Y）的联合分布概率密度=e^(-x^2/8-y^2/8)/（8π）(U,V)的联合分布F(u,v)=∫∫{x+y≤u,x-y≤v}e^(-x^2/8-y^2/8)dxdy/（8π）==1/（8π）∫{-∞→(u+v)/2}e^(-x^2/8)[∫{x-v→u-x}e^(-y^2/8)dy]dx==δF/δu==[1/（2*8π）](e^[-[(u+v)/2]^2/8][∫{(u+v)/2-v→u-(u+v)/2}e^(-y^2/8)dy]++1/（8π）∫{-∞→(u+v)/2}e^(-x^2/8)e^(-(u-x)^2/8)dx==1/（8π）∫{-∞→(u+v)/2}e^(-x^2/8)e^(-(u-x)^2/8)dx==U与V的联合分布概率密度：f（u，v）=δ^2F/δuδv==1/（2*8π）e^(-[(u+v)/2]^2/8)e^(-(u-(u+v)/2)^2/8)==1/（16π）e^(-(u^2+v^2)/16)==(U,V)～N(0,2√2,0,2√2,0),2维正态分布。2。U,V的相关系数r=0==》U与V独立。
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联合分布密度同上是否独立用相关系数判断
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(1) P(UV)=P(X^2-Y^2)=P(X^2)-P(Y^2)=[P(X)]^2-[P(Y)]^2代入P(X),P(Y)即可得到(2) P(U)=P(X)+P(Y) P(V)=P(X)-P(Y)概率论书上应该有判别是否独立的条件的，你看看是否满足条件就可以了