已知，如图在三角形ABC中，AC=BC 角ACB＝90度 D是AC上一点，且AE垂直于BD的延长线，又AE＝1/2BD求证：BD是角ABC的平分线
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这个有什么难的，看着延长AE，BC交于G点，图我就不画了可以证明ACG和BCD全等（三个对应角都相等，而且AC=BC）所以得到AG=BD又因为AE=1/2BD所以AE=1/2AG所以AE=EG所以ABE和GBE全等（直角三角形两直角边相等，而且都有一个90度的角）所以角ABE=角GBE，所以BD是角平分线
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∠E=∠C=90°，∠ADE=∠BDC（对顶角）得不出△AED∽△BCD
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解：如果纯粹用几何知识解答此题，好像有点难度（对我来说）。用几何-代数-三角三结合去解，不算太难。只不过过程长了点。设∠CBD=αAC=BC=1DC=x, AD=1-x看△AED和△BCD：∵∠E=∠C=90°，∠ADE=∠BDC（对顶角）∴△AED∽△BCD∴AE∶BC=AD∶BD即(BD/2)∶BC=AD∶BD由勾股定理,BD=√(x^2+1)[√(x^2+1)/2]∶1=(1-x)∶√(x^2+1)[√(x^2+1)/2]×√(x^2+1)= 1-x(x^2+1)/2=1-xx^2+1=2-2xx^2-2x+1=0解之,得一根:x=√2-1 (另一根舍去。)即 DC=√2-1tgα=√2-1α=45°/2 （请看说明）因为△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°,所以∠ABD=45°-α=45°/2即∠ABD=∠CBD所以 BD是∠ABC的平分线。…… …… …… …… …… …… ……说明:tgα=√2-1tg2α=2(√2-1)/[1-(√2-1)^2]=(2√2-2)/[1-(2-2√2+1)]=(2√2-2)/ (2√2-2)=1∴2α=45°∴α=45°/2。
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对不起那天我看错题目了，好像这题目是错的：由题意设AB=2√2，则AC=AB=2，AE=1，sin∠ABE=（√2）/4，因为sin2∠ABE=2sin∠ABEcos∠ABE=2*（（√2）/4）*√（（1-（（√2）/4）*（√2）/4）））=（√7）/4而sin∠ABC=（√2）/2即sin2∠ABE≠sin∠ABC即∠ABC≠2∠ABE