1)以知a<b<c,求证a^b+b^c+c^a<ab^+bc^+ca^.2)a,b,c为互不相等的正数,且abc=1.求证1/a+1/b+1/c>根号a+根号b+根号c.
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1)以知a根号a+根号b+根号c. 1)解:用比较法∵(a^b+b^c+c^a)-(ab^+bc^+ca^)=(a^b-ab^)+(b^c-ca^)+(c^a-bc^)=ab(a-b)+c(b^-a^)+c^(a-b)=ab(a-b)+c(b^-a^)+c^(a-b)=(a-b)[ab-c(a+b)+c^]=(a-b)(c-a)(c-b)又∵a0,c-b0.则(a-b)(c-a)(c-b)(1/2){2√[(√bc/a)·(√ac/b)]+2√[(√ac/b)·(√ab/c)]+2√[(√ab/c)·(√bc/a)]}=(1/2){2√[(√c·c)]+2√[(√a·a)]+2√[(b·b)]}=√a+√b+√c∴1/a+1/b+1/c√a+√b+√c
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1)(ba^2+cb^2+ac^2)-(ab^2+bc^2+ca^2)=(ba^2-ab^2)+(cb^2-bc^2)+(ac^2-ca^2)=ab(a-b)+c(a^2-b^2)+c^2*(a-b)=(a-b)[c^2-(a+b)c+ab]=(a-b)(c-b)(c-a)ac-b0;c-a0;a-b(a-b)(c-a)(c-b)a^2*b+b^2*c+c^2*a0:x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx.（*）---1/a+1/b+1/c=1/√(bc)+1/√(ca)+1/√(ab)abc=1---a=1/(bc)---√a=1/√(bc);同理√b=1/√(ca);√c=1/√(ca)---1/a+1/b+1/c√a+√b+√c注：根据本题中可以先证明（*）。