1. 已知两个正数X,Y满足X+Y=4,要使不等式(1/X)+(4/Y)≥M恒成立,求M的取值范围.
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∵1/x+4/y＝(1/x+4/y)*(x+y)/4 注意：[(x+y)/4＝1]＝(1/4)+1+(y/4x)+(x/y)＝5/4+[y/(4x)+(x/y)]≥5/4+2[根号(y/4x*x/y)]＝5/4+2*(1/2)＝5/4+1＝9/4 ∴(1/x)+(4/y)≥ 9/4故：m≤9/4时式子恒成立
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因为X+Y=4,(1/X)+(4/Y)=1/X+X+1 设1/X=N 则原式=N~2+N+1=N~2+N+1/4+3/4=(N+1/2)~2+3/4 因为(N+1/2)~2大于等于0，所以（N+1/2)~2+3/4大于等于3/4所以(1/X)+(4/Y)=(N+1/2)~2+3/4大于等于3/4所以M小于等于3/4
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(1/X)+(4/Y) = [(1/X)+(4/Y)]*(X+Y)/4 (因为X+Y=4)=(5 + 4X/Y + Y/X)/4因为 4X/Y + Y/X ≥2√[4X/Y)*(Y/X)] =4 所以上式≥（5+4)/4 = 9/4所以M不大于上式的最小值，M≤9/4就可以了。当且仅当X+Y=44X/Y = Y/X == X=4/3, Y=8/3时取等号。