见图
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应该舍去S=b^2*cot(&/2),而应取S=b^2*tan(&/2)。(说明：“&”表示∠F1MF2。公式：tan(&/2)=(1-cos&)/sin&=sin&/(1+cos&) )解答过程中得到方程：sin&*S^2-2b*S+(b^4)*sin&=0不妨用S表示sin&：sin&=2b*S/(b^4+S^2) 因为&的取值范围为（0，P）[P为圆周率]所以 sin(p-&)=sin&也就是说所求得的两个S中，有一个为三角形F1MF2的面积，另一个为三角形F1NF2的面积。（N为椭圆上一点，∠F1NF2=P-&)所以三角形F1MF2的面积是由两个方程确定的，另一个为：cos&=(|MF1|^2+|MF2|^2-4c^2)/2*|MF1||MF2|=2b^4/(b^4+c^2*y^2) —①S=c|y| —② 由①②解得S^2=(b^4)*(tan(&/2))^2 这个方程也有两个解，这个解集与楼主解集的交集就是面积S=b^2*tan(&/2) 另一个解舍去。顺便说一下，一般求此三角形面积的方法havenhj714的方法，但楼主的方法不落俗套，我很佩服。
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一个算法更直接.用椭圆第一定义算.S=1/2MF1*MF2*Sina又MF1+MF2=2aMFI^2+MF2^2-2MF1*MF2*Cosa=F1F2^2=4c^2所以(MF1+MF2)^2-2MF1*MF2-2MF1*MF2*Cosa=4c^2化简4a^2-2MF1*MF2(1-cosa)=4C^2整理MF1*MF2=(2b^2)/(1+Cosa)代入面积公式得S=(1/2)*(2b^2)*sina/(1+cosa)=b^2*tan(a/2)
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应舍.设F1M=m,F2M=n.则4c^2=m^2+n^2-2mncosα;a^2=b^2+C^2;m+n=2a;整理得:mn=2b^2/(1+cosα);因为F1 MF2的面积=1/2*mn*sinα=1/2*tan(α/2).并且因为，椭圆是确定的，焦点是确定的，则：椭圆上的点M对两个焦点的张角α只随M点的位置而变化张角α已定，则三角形F1MF2的面积一定.
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此题有图吧题中并说＂如图＂ 那么 答案应是图上的那种情况但你的答案是全面的 不要怀疑自己 正式考试不会有类似情况的 练习而已．．．．．努力＋．．． 就是 ．．． 成功
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因为，椭圆是确定的，焦点是确定的，则：椭圆上的点M对两个焦点的张角α只随M点的位置而变化张角α已定，则三角形F1MF2的面积一定（根据对称关系，M可能有四个位置，但不影响面积）因此，必须舍去一个S值。
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答案有误，但并不是两个答案都保留因为，椭圆是确定的，焦点是确定的，则：椭圆上的点M对两个焦点的张角α只随M点的位置而变化张角α已定，则三角形F1MF2的面积一定（根据对称关系，M可能有四个位置，但不影响面积）因此，必须舍去一个S值。
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换一个算法更直接.用椭圆第一定义算.S=1/2MF1*MF2*Sina又MF1+MF2=2a MFI^2+MF2^2-2MF1*MF2*Cosa=F1F2^2=4c^2所以(MF1+MF2)^2-2MF1*MF2-2MF1*MF2*Cosa=4c^2化简4a^2-2MF1*MF2(1-cosa)=4C^2整理MF1*MF2=(2b^2)/(1+Cosa)代入面积公式得S=(1/2)*(2b^2)*sina/(1+cosa)=b^2*tan(a/2)
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答案有误
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答案有误，但并不是两个答案都保留因为，椭圆是确定的，焦点是确定的，则：椭圆上的点M对两个焦点的张角α只随M点的位置而变化张角α已定，则三角形F1MF2的面积一定（根据对称关系，M可能有四个位置，但不影响面积）因此，必须舍去一个S值。
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答案有误两个答案都应该保留(我给你算了两遍呢)
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答案有误你说得对，两个答案都应该保留看来你看的这本书的错误还真不小啊！！！