求周长为√２＋１的直角三角形面积的最大值

求周长为√２＋１的直角三角形面积的最大值

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设直角边长为A .B(P为周长)得 A+B+根号(A^2+B^2)=P=2根号(AB)+根号(2AB)得 根号(AB)<=P/(2+根号2)S=AB/2<=(3-2根号2)P^2/4代入得 1/4

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设两直角边为a、b，1 + √2 = a + b + √(a^2 + b^2) ≥ 2√(ab) + √(2ab) = (2+√2)√(ab) 所以 √(ab) ≤ 1/√2故 ab ≤ 1/2从而 三角形的面积是 ab/2 ≤ 1/4即 三角形面积的最大值是 1/4