S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=1/2(a b c),这个公式是怎么证明的?好象叫什么海伦公式?a,b,c是三角形的三边,p是周长的一半.S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=1/2(a+b+c),请给一种证明方法~
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因为cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)所以(sinC)^2=1-(cosC)^2=1-(a^2+b^2-c^2)^2/(2ab)^2=[(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2]/(2ab)^2=[(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)]/(2ab)^2=[c^2-(a-b)^2]*[(a+b)^2-c^2]/(2ab)^2=(a+b+c)(a+b-c)(c+b-a)(c+a-b)/(2ab)^2令a+b+c=2p,那么a+b-c=(a+b+c)-2c=2(p-c),同理b+c-a=2(p-a);c+a-b=2(p-b)。因此sinC=4√[p(p-a)(p-a)(p-b)(p-c)]/(2ab)故S=1/2*absinC=ab/2*2√[p(p-a)(p-b)(p-b)(p-c)]/(ab)=[p(p-a)(p-b)(p-c)]。
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好象叫什么海伦公式?a,b,c是三角形的三边,p是周长的一半。S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=1/2(a+b+c),请给一种证明方法~S△=1/2absinCS^2△=1/4aabb(1-cosCcosC)cosC=向量ＣＡ＊向量ＣＢ／bacosCcosC=(向量ＣＡ＊向量ＣＢ)^2／bbaaS^2△=1/4aabb(1-cosCcosC)=1/4aabb{1-(向量ＣＡ＊向量ＣＢ)^2／bbaa}=1/4{aabb--(向量ＣＡ＊向量ＣＢ)^2}(向量ＣＡ＊向量ＣＢ)^2=｛（向量ＣＢ＋向量ＢＡ）＊向量ＣＢ｝＾２ ＝｛aa-cacosB}^2={(aa-cc+bb)/2}^2aa+cc-2accosB=bbaabb--(向量ＣＡ＊向量ＣＢ)^2={ab+(aa-cc+bb)/2}{ab-(aa-cc+bb)/2} =1/4{(a+b)^2-cc}{cc-(a-b)^2} =1/4(a+b-c)(a+b+c)(c-a+b)(c+a-b)S^2△=1/4aabb(1-cosCcosC)=1/4aabb{1-(向量ＣＡ＊向量ＣＢ)^2／bbaa}=1/4{aabb--(向量ＣＡ＊向量ＣＢ)^2}=1/16(a+b-c)(a+b+c)(c-a+b)(c+a-b)=(a+b-c)/2*(a+b+c)/2*(c-a+b)/2*(c+a-b)/2设p=1/2(a+b+c),S^2△=p(p-a)(p-b)(p-c)Ｓ△＝√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。