三角形ABC,E、F三等分AC,BC边上DB=2DC,连接BE,BF,AD相交于H,G,求四边形EFGH的面积为ABC面积的几分之几？
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设△ABC的面积=m。连结CG，设△CDG的面积=s，△CFG的面积=t,则△BDG的面积=2s，△AFG的面积=2t，于是有3s+t=(1/3)m,s+3t=(1/3)m。两式相加，得4s+4t=(2/3)m,即s+t=(1/6)m。也就是四边形CDGF的面积=(1/6)m。连结CH，设△CDH的面积=x,△CEH的面积=y，则△BDH的面积=2x，△AEH的面积=(1/2)y。于是有3x+y=(2/3)m…………①x+(3/2)y=(1/3)m……②解由组成的方程组，得x=(4/21)m,y=(2/21)m。∴x+y=(4/21)m+(2/21)m=(2/7)m,即四边形CDHE的面积=(2/7)m。∴ 四边形EFGH的面积=四边形CDHE的面积-四边形CDGF的面积=(2/7)m-(1/6)m=(5/42)m。即四边形EFGH的面积是△ABC的面积的5/42。。
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以下S代表面积。连结EG,CG。设S[ABC]=1。依题意可知S[ABE]=S[BEF]=S[BCF]=S[ACD]=1/3,S[AEG]=S[EFG]=S[CFG],S[AEG]+S[EFG]+S[CFG]+S[CDG]=S[ACD],即3S[EFG]+S[CDG]=1/3①,依题意可知S[BCG]=3S[CDG],又S[BCG]+S[CFG]=S[BCF],即3S[CDG]＋S[CFG]=1/3,又S[CFG]=S[EFG],故3S[CDG]＋S[EFG]=1/3②,①②联立解得S[CDG]=S[EFG]=1/12。EH/BH=S[AEH]/S[ABH]=S[AEH]/(S[ABE]-S[AEH])=S[AEH]/(1/3-S[AEH])，又EH/BH=S[EGH]/S[BGH]=S[EGH]/(S[BEF]-S[EFG]-S[EGH])=S[EGH]/(1/3-1/12-S[EGH])，故S[AEH]/(1/3-S[AEH])=S[EGH]/(1/3-1/12-S[EGH])，解得S[EGH]/S[AEH]=3/4③，又S[AEG]=S[EFG]=S[EGH]+S[AEH]=1/12④,③④联立解得S[EGH]=1/28,故S[EFGH]=S[EGH]+S[EFG]=1/28+1/12=5/42,所以四边形EFGH的面积为ABC面积的5/42。 。
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