数列｛an｝的前n项和为Sn=npan(n∈+N)且a1≠a2(1) 求常数p值（2）证明数列｛an｝是等差数列
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解：(1) 令n=1, S1=1·pa1, 即a1=pa1,若p=1, 则Sn=nan,令n=2， 有S2=2a2, a1+a2=2a2,∴ a1=a2与已知矛盾！ ∴ p≠1，从而a1=0,再令 n=2, 在S2=2pa2,a1+a2=2pa2, ∵ a1=0。∴ (2p-1)a2=0, 而 a2≠a1, ∴a2≠0, 从而p=1/2。(2)证明：只要证明：存在d，使得对任意n∈N都有an=a1+(n-1)d，取d=a2-a1。而a1=0, ∴ d=a2,(i) n=1时，a1=a1+(1-1)d, 等式成立，n=2时，左式=a2, 右式=a1+(2-1)d=a1+d=a1+a2-a1=a2 等式成立。(ii) 假设n=k(k≥2,k∈N)时，ak=a1+(k-1)d=(k-1)d,n=k+1时，Sk=(k/2)ak, sk+1=[(k+1)/2]ak+1,∴ Sk+1-Sk= sk+1={[(k+1)/2]ak+1}-(k/2)ak,即 ak+1={[(k+1)/2]ak+1}-(k/2)ak , ∴ [(k-1)ak+1]=kak=k(k-1)d ∵ k≥2,∴ k-10, ∴ ak+1=kd=a1+(k+1-1)d,∴ n=k+1时，命题成立。由(i),(ii)可知an=a1+(n-1)d 恒成立,{an}为等差数列。。
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数列｛an｝的前n项和为Sn=npan(n∈+N)且a1≠a2(1) 求常数p值(2）证明数列｛an｝是等差数列Sn=npanS(n-1)=(n-1)pa(n-1)相减：Sn-S(n-1)=an=p[nan-(n-1)a(n-1)](np-1)an=(n-1)pa(n-1)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(*)n=1时，(p-1)a1=0------------------a1=0或p=1n=2时，(2p-1)a2=pa1---∵a1≠a2----p≠1∴a1=0，代入(2)：∵a2≠a1=0-----------------------p=1/2将p=1/2带入(*)式：(n-2)an=(n-1)a(n-1)，其中n≥3n=3时，(3p-1)a3=pa2-----(3/2)a3=(1/2)a2-----a3=2a2n=4时，(4p-1)a4=3pa3----a4=(3/2)a3=3a2假设对于n=k（k≥1），ak=(k-1)a2，（k=1、2、3、4时已验证成立）则：n=k+1时，由(*)：[(k+1)/2-1]a(k+1)=(k/2)ak即：(k-1)a(k+1)=k(k-1)ak------a(k+1)=kak即：对于n=k+1时，a(k+1)=kak∴由数学归纳法，an=(n-1)a2，（n为正整数）∴{an}是以0位首项、a2（≠0）为公差的等差数列。。