1.当x>1时，求证：(2/3)x^3-(1/2)x^2-lnx>0.2.求F(x)=ln(1+x)-x/(1+x)的极小值.3.当a、b为正实数时，证明：lna-lnb≥1-b/a.
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1。当x1时，求证：(2/3)x^3-(1/2)x^2-lnx0。设y=(2/3)x^3-(1/2)x^2-lnx，令：y'=2x^-x-1/x=0，x^(2x-1)=0,x=0,1/2y''=4x-1+2/x^,当x=1/2时，y''=2-1+40∴当x1/2时，y=(2/3)x^3-(1/2)x^2-lnx是增函数当x=1时，y=2/3-1/2-ln1=1/60∴当x1时，y=(2/3)x^3-(1/2)x^2-lnx02。求F(x)=ln(1+x)-x/(1+x)的极小值。F(x)=ln(1+x)-1+1/(1+x)令F'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^=0,x=0当x=0时，F''(x)=2/(1+x)^3-1/(1+x)^=10∴F(x)有极小值F(0)=03。当a、b为正实数时，证明：lna-lnb≥1-b/a。 要证lna-lnb≥1-b/a。 即证：b/a-ln(b/a)≥1设f(x)=x-lnx (x0)令f'(x)=1-1/x=0，x=1f''(1)=1+2=30∴f(x)有极小值f(1)=1,即：f(x)=x-lnx≥1特别地：f(b/a)=b/a-ln(b/a)≥1（当a=b是取等号）证毕。。