设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a》0，b》0）的一条准线与两条渐进线交于A，B两点，相应焦点为F，若三角形ABF为正三角形，求双曲线离心率。
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设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0）的一条准线与两条渐进线交于A，B两点，相应焦点为F，若三角形ABF为正三角形，求双曲线离心率。 只作F是右焦点的情况： 因为渐近线为：y=±(b/a)*x ,准线为：x= a^2/c所以AB的坐标为：A(a^2/c ,ab/c) ,B(a^2/c ,-ab/c)设准线与X轴交于C点，因为FC＝√3*AC所以(a^2/c -c)^2 = 3*(ab/c)^2即b^2= 3*a^2 ,所以 c^2=a^2+b^2=4*a^2 ,c=2a所以e=c/a = 2a/a = 2
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解:双曲线x^/a^-y^/b^=1的一条准线为:x=a^/c,它与两条渐进线:y=±bx/a分别交于A(a^/c,ab/c)，B(a^/c,-ab/c)两点.相应焦点为F(c,0),若三角形ABF为正三角形,则:F到AB的距离:c-a^/c=√3|AB|/2=(√3)ab/c∴b^/c=(√3)ab/c,∴b=(√3)ac^=a^+b^=4a^∴e^=c^/a^=4∴e=2