M和N使高度同为h的圆柱形容器,底面半径为r和R,且r＜R,一水管单独向M注水,用t分钟可以注满容器M,现将两容器在它们高度的一半处用一个细管连通(连通细管的容积不计)仍用该水管向MM注水,问2t分钟时,容器M钟水的高度是多少?
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M和N使高度同为h的圆柱形容器,底面半径为r和R,且r＜R,一水管单独向M注水,用t分钟可以注满容器M,现将两容器在它们高度的一半处用一个细管连通(连通细管的容积不计)仍用该水管向MM注水,问2t分钟时,容器M钟水的高度是多少? 设水的高度是X,得 2*Pi*r*r*h=(Pi*r*r+Pi*R*R)*X X=2*Pi*r*r*h/(Pi*r*r+Pi*R*R)
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M和N使高度同为h的圆柱形容器,底面半径为r和R,且r＜R,一水管单独向M注水,用t分钟可以注满容器M,现将两容器在它们高度的一半处用一个细管连通(连通细管的容积不计)仍用该水管向MM注水,问2t分钟时,容器M钟水的高度h(2t)是多少?t分钟可以注满容器M,----每分钟注水量=πr^h/t∴开始，水管单独向M注水,注满一半需t/2分钟；然后，水管通过细管单独向N注水,注满一半需： (1/2)πR^h/(πr^h/t)=(R^/2r^)t分钟；最后，水管通过细管向(M+N)注水，注满剩余的一半需：t/2+(R^/2r^)t分钟。∴当x≤t/2时，h(x)=xπr^h/t/(πr^)=(h/t)x当t/2≤x≤t/2+(R^/2r^)t时，h(x)=h/2当t/2+(R^/2r^)≤x≤t+(R^/r^)t时，h(x)=h/2+xπr^h/t/(πR^+πr^)=h/2+r^h/(R^+r^)x∵r＜R，∴t+(R^/r^)t＜2t当2t≤t/2+(R^/2r^)t，即：r≤√3R/3时，h(2t)=h/2当2t＞t/2+(R^/2r^)t，即：√3R/3＜r＜R时，h(2t)=h/2+r^ht/(2R^+2r^)。