已知x,y属于R,1<=x^2+y^2<=2,z=x^2+xy+y^2,求z的取值范围
热心网友
因为1≤x^2+y^2≤2,所以可以设x=kcosα,y=ksinα,且1≤k^2≤2,0≤α＜2π所以z=x^2+xy+y^2=k^2(cosα)^2+k^2sinαcosα+k^2(sinα)^2=k^2(1+sinαcosα)=k^2[1+(sin2α)/2],所以当sin2α=1且|k|=√2时:z最大,z的最大值为3当sin2α=0且|k|=1时:z最小,z的最小值为1/2所以z∈[1,3]
热心网友
3/2≤z≤3z=x平方+y平方+xy≤x平方+y平方+(x平方+y平方)/2=3/2(x平方+y平方),由已知1≤x平方+y平方≤2,得3/2≤z≤3