已知二次函数y=n(n 1)x2-(2n 1)x 1(n∈N)已知二次函数y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1(n∈N),求所有二次函数的图象在X轴上截得的线段的长度总和.
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解：b^2-4ac=10，可知n∈N时，抛物线始终与x轴交有两点。根据维达定理，(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2x1+x2=-b/a=(2n+1)/[n(n+1)],x1x2=c/a=1/[n(n+1)],可得x2-x1的绝对值=1/[n(n+1)],n∈N 这个就是数列的一般式，当n趋于无穷大求和xn=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1),n∈N Σxn=1/1-1/2＋1/2-1/3+......+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=1因为1/(n+1)=0,n趋于无穷大时长度总和＝1
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解：y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1，当主导X相交时，Y=0即n(n+1)x2-(2n+1)x+1=0所以(nx-1)[(n+1)x-1]=0x1=1/n，，x2=1/(n+1)他们与x轴截的长度=1/n-1/(n+1)由于n∈N,所有二次函数的图象在X轴上截得的线段的长度总和为Σ[1/n-1/(n+1)]S=1-1/2+1/2-1/3+....+1/n-1/(n+1)+....=lim[1-1/(n+1)]----[n趋向无穷,时候的极限]=1
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y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1=(nx-1)[(n+1)x-1]=0x=1/n或x=1/(n+1)他们与x轴截的长度=1/n-1/(n+1)由于n∈N,那么所有二次函数的图象在X轴上截得的线段的长度总和为Σ[1/n-1/(n+1)]S=1-1/2+1/2-1/3+....+1/n-1/(n+1)+....=lim[1-1/(n+1)]----[n趋向无穷,时候的极限]=1