三角形ＡＢＣ内接于圆Ｏ，角ＡＣＢ＝９０度，ＡＢ＝２乘３．１４，以Ｃ点为圆心的圆Ｃ与ＡＢ相切于点Ｄ，与ＣＡ，ＣＢ分别相交于点Ｅ，Ｆ，Ｓ设角ＣＡＢ＝ａ，角ＣＢＡ＝ｂ，且ｔａｎａ和ｔａｎｂ是一元二次方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的两根，解答下列问题：（１）若ｐ＋ｑ＝－１，证明：ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０有两个不相等的实数根（２）设面积Ｓ＝Ｓ三角形ＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＥＦ，求Ｓ最大值．当Ｓ为最大值时，ｐ，ｑ值各为多少？为什么？
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解：已知:tanA和tanB分别是一元二次方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的两根所以:tanA+tanB=p tanA*tanB=q因为:tanA=sinA/cosA tanB=cotA=cosA/sinAp=sinA/cosA+cosA/sinA={(sinA)^2+(cosA)^2]/(sinA*cosA)=1/[(sin2A)/2]=2/sin2A 且sin2A=2 和 q=1因为:p+q=-1 ---p=2x^2+px+q=0p^2-4q=2^2-4=0所以:x^2+px+q=0有两个相等的实数根。Ｓ＝Ｓ三角形ＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＥＦ=AB*CD/2-(CD^2*pi/4)=-(pi/4)(CD^2-4CD)=-(pi/4)(CD-2)^2+pi当CD=2 时即:Ｓ最大值为(pi=3。1415926)p=BC/AC+AC/BC=(AC^2+BC^2)/AC*BC=(2*pi)^2/AB*CD=(4*pi^2)/(2*pi*2)=piq=1。
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已知:tanA和tanB分别是一元二次方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的两根所以:tanA+tanB=p tanA*tanB=q因为:tanA=sinA/cosA tanB=cotA=cosA/sinAp=sinA/cosA+cosA/sinA={(sinA)^2+(cosA)^2]/(sinA*cosA)=1/[(sin2A)/2]=2/sin2A 且sin2A=2 和 q=1因为:p+q=-1 ---p=2x^2+px+q=0p^2-4q=2^2-4=0所以:x^2+px+q=0有两个相等的实数根。Ｓ＝Ｓ三角形ＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＥＦ=AB*CD/2-(CD^2*pi/4)=-(pi/4)(CD^2-4CD)=-(pi/4)(CD-2)^2+pi当CD=2 时即:Ｓ最大值为(pi=3。1415926)p=BC/AC+AC/BC=(AC^2+BC^2)/AC*BC=(2*pi)^2/AB*CD=(4*pi^2)/(2*pi*2)=piq=1。