3. 过原点作斜率为1的直线交抛物线y=x^2于点P1(x1,y1),过点Ｐ１作斜率为１／２的直线交抛物线ｙ＝ｘ＾２于另一点Ｐ2(x2,y2),过点P2做斜率为1/4的直线交抛物线y=x^2于另一点P3(x3,y3).....一般地,过点Pn-1作斜率为1/[2^(n-1)]的直线交抛物线y=x^2于点Pn(xn,yn),这样一直作下去(1)求limX2n-1 , limX2n n→∞ n→∞(2)求线段P2n-1P2n的中点Mn的极限位置
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依次可求得P1(1,1),P2(-1/2,1/4),P3(3/4,9/16),P4(-5/8,25/64)......观察各坐标x值，可得X1=1,Xn=[(-1)^(n-1)]*(2n-1)/2^n (n=2)（用数学归纳法可证明上述通项公式，证明从略，可自行验证）(1) limX2n-1 = 0, limX2n = 0 n→∞ n→∞(2) Mn终点Xm=(X2n-1+X2n)/2=(4n-5)/4^n n→∞ Xm→0 Ym→0 所以Mn极限位置（0,0)
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解：∵直线Pn-1Pn的方程为Y-Yn-1=1/[2^(n-1)](X-Xn-1), ∴Yn-Yn-1=1/[2^(n-1)](Xn-Xn-1), ∴Xn^2-Xn-1^2=1/[2^(n-1)](Xn-Xn-1), ∴Xn+Xn-1=1/[2^(n-1)]。。。(1) ∴Xn+1+Xn=1/[2^n]。。。(2) ∴(2)-(1):Xn+1-Xn-1=-1/(2^n) ∴X2n-1=-1/(2^n)-1/[2^(n-1)-1/[2^(n-2)-。。。-1/(2^2)+X1 ∴limX2n-1=-1/4÷ (1-1/2)+1=1/2 n→∞ 同理LimX2n=-1/8÷ (1-1/2)+X2=-1/4+(-1/2)=-3/4 (2)设P2n-1P2n的中点Mn(X,Y), ∴X=Lim(X2n+X2n-1)/2=0 Y=0 ∴P2nP2n-1的中点的极限位置为(0,0)。