在三角形ABC中,求证:C为直角是sinC=sinA+sinB/cosA+cosB的充要条件.
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1.充分性:若C=90(度),则左=sin90=1,由于A+B=90,得右=(sinA+cosA)/(sinA+cosA)=1 左＝右2.必要性:若(sinA+sinB)/cosA+cosB)=sinC,左边和差化积,右边按C/2倍角得2sin(A+B)/2cos(A-B)/2/2cos(A+B)/2cos(A-B)/2=2sinC/2cosC/2,注意到A+B+C=180,(A+B)/2=90-C/2,得2*(sinC/2)平方=1,c/2≤90,故得sinC/2=√2/2C/2=45,C=90为直角.
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1）充分性：---sinB=sin(90-A)=cosA; cosB=cos(90-A)=sinA---(sinA+cosB)/(cosA+cosB)=(sinA+cosA)/(cosA+sinA)=1=sin90=sinC---C=90是(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=sinC的充分条件；2）必要性：(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=sinC---{2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]}/{2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]}sin(A+B)---sin[(A+B)/2]/cos[(A+B)/2]=2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]---cos(C/2)/sin(C/2)-2sin(C/2)cos(C/2)=0---tan(C/2){1-2[sin(C/2)]^2}=0---tan(C/2)cosC=0---tan(C/2)=0;or cosC=0---C/2=90;or C=90。---C=90是sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)的必要条件。所以G=90是该等式成立的充要条件。